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矩阵范数与谱半径

你的p-范数定义错了,矩阵的p-范数是向量p-范数的诱导范数,即 Ap = max{Axp:xp=1}= max{Axp/xp: x≠0}.如果你想做数值例子的话,我可以告诉你,实际计算的时候p-范数是很难算的,通常需要用搜索的办法来求解这个最优化问题,我记得Nick Higham有一个MATLAB程序可以算. 补充:你用的定义相当于是向量范数,作为矩阵范数不是相容范数,所以和谱半径没有必然联系.

证明:记λ为矩阵A的模最大特征值(谱半径),x为其对应的右特征向量,那么:x'A' * Ax = |λ| * x'x => |λ| = ||Ax||/ ||x||

1.二范数:利用乘幂法求出最大奇异值即可.2.谱半径:利用乘幂法求出模最大的特征值即可.

矩阵的谱半径就是指矩阵的特征值中绝对值最大的那个.矩阵A的特征值为λ1,λ2,……,λn,谱半径ρ(A)=max〔λi〕(i=1,2,……,n)

是对的!谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤A.因为对任一特征值λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx.两边取范数并利用相容性(乘法三角不等式)即得结果.

定义3.设A是n*n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称为A的谱半径.谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:ρ(A)≤A因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)

设A是n * n矩阵,λi是其特征值,i = 1,2,……,n.称ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}为A的谱半径.即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征值的模的最大值;若特征值为虚数,则谱半径为实部与虚部的平方和的开方.

谱半径,就是特征值绝对值(复数取模)中的最大值,先求特征值.再取模,分别得到√5,√5,因此谱半径是√5. 设A是n * n矩阵,λi是其特征值,i = 1,2,……,n.称ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}为A的谱半径.即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征

这个作用是在计算数学里有重要作用.谱半径即最大的特征值.所以当我们需要限定特征值的大小时就要用到它了!比如说在pde数值解这门课中,我们判断方程解的稳定性时,需要让特征值小于1所以特征值小于1就是必要条件,即风诺依曼条件.不知道你有没有上过这门课还有在线性方程组的数值解中需要矩阵迭代,也要用谱半径来判断收敛性.

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