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怎么求椭圆的二重积分

可以利用椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1)上的参数方程:x=acosθ;y=bsinθ.因此椭圆区域内的点(x,y)可以做参数化为x=arcosθ,y=brsinθ,其中0≤r≤1,0≤θ≤2π,接着可以以极坐标形式来算二重积分.有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分

广义极坐标变换:x=a rcosθ,y=b rsinθ,直角坐标(x,y) 极坐标(r,θ)面积元素dxdy= a b r drdθ面积= θ:0-->2π, r:0-->1 被积函数是abr 的二重积分 =∫【0,2π】dθ∫【0,1】abrdr=2π*ab*(1/2)=πab

在Dz上的积分等于该截面(椭圆)的面积.该等式后多了一个数字2,但结果又是对的.

你把坐标换成极坐标,然后代入椭圆的方程,得出一个关于R和角度的方程,解出R,用角度的三角函数表示的,取舍一下,取正数的那个,这就是R的范围,从零到你得到的这个数

椭圆可以分成4个同样的部分,对其中一部分,例如第一象限的部分可以表示成y=f(x)的形式,然后积分,乘以4就可以了.不过积分可能有些麻烦,还是用二重积分好算.

积分区域具有对称性,y是奇函数抄,直接等于零,不是考察极坐标.椭圆的极坐标方程是:§=(ep)/(1-ecos@) ( 0<=e<1)直角坐标与极坐标的关系是x=§cos@,y=§sin@.令x = a* r*cos@ y = b* r*sin@ ,r范围是r <=1,带入:∫∫ydxdy,dxdy变为a*b*

用极坐标微元变换式. dxdy=rdrdθ. 注意积分限变化. 由椭圆的参数式方程:x=acosθ;y=bcosθ 那么极轴r的积分限为从0到[(acosθ)^2+(bcosθ)^2],角θ的积分限为从0到2π. 化为二次积分求解即可,需要用到定积分的一些三角函数积分技巧. 当然也可以直接用直角坐标系化为二次积分求解.不过积分限会变得超级麻烦.

1、设A为椭圆上一点:坐标(X,Y).O=(-c,0).O为椭圆焦点 K是以OX为始边OA为终边的角,取K为参数,X=|OA|COS(K),Y=|OB|SIN(K) ,设参数方程为X=aCOS(K) Y=bSIN(K) ==>X^2/a^2+Y^2/b^2=(COSK)^2+(SINK)^2=1 为椭圆标准方程 ==> 参数方程 X=aCOS(K) Y=bSIN(K) 为椭圆的参数方程2、x^2/a^2+y^2/b^2=1 因为sint^2+cost^2=1 设x/a=sint,y/b=cost 则参数方程为:x=asint y=bcost

根据二重积分的中值定理,m≤i/σ≤m, 其中m和m分别是f(x,y)在d上的最小值和最大值, ∵x^2+y^2

因为积分区域关于x y轴都对称所以∫∫2y^2dxdy/(x^2+y^2)^2=∫∫(x^2+y^2)dxdy/(x^2+y^2)^2=∫∫dxdy/(x^2+y^2) 设x=acost y=bsint 且积分区域对称 所以在0到 π/2积分即可 最后结果乘以4带入得∫∫(-absintcostdt)/(a^2cost^2+b^2sint^2)最后就是积分出来了

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